▲ (위) 사도브스키(Sadovskii) 타입 소용돌이를 연구하는 전통적 접근 방식 / 전통적인 연구에서는 소용돌이 패치의 경계가 되는 점선 곡선의 방정식을 직접 구하는 방식으로 사도브스키 패치를 분석해 왔다. 이 방법은 소용돌이 영역의 모양(shape)을 가정한 뒤, 그 경계가 오일러 방정식을 만족하도록 곡선 자체를 계산해 맞추는 방식이다. 그러나 이 방식은 해(해당 소용돌이를 실제로 만들어내는 유동 함수)를 얻지 못하고, 단지 ‘그럴듯한 윤곽선’만 제시하는 데 그쳤다는 한계가 있다. (아래) 이번 연구에서 변분법으로 얻어진 최대화 함수가 사도브스키 타입임을 증명한 방법 / 두 대칭 소용돌이가 발생시키는 이동 속도가 W라고 할 때, 중심점 (0,0) 에서의 x축 방향 속도 u1(0,0)는 W의 2배보다 크다. 이런 성질은 해당 연구에서 찾아낸 대칭 소용돌이가 특정 조건에서 접촉한다는 것을 증명하는 데에 이용된다.(그림 및 설명=UNIST)  © 특허뉴스

50여 년 동안 풀리지 않던 유체역학의 난제가 국내 연구진에 의해 마침내 해결됐다.

1971년 러시아 수학자 사도브스키(V. S. Sadovskii)가 수치 시뮬레이션으로만 제안했던 ‘사도브스키 소용돌이 패치(Sadovskii vortex patch)’. 두 개의 동일한 회전 세기를 가진 소용돌이가 서로 맞붙어 끊김 없이 이동하는 독특한 소용돌이 구조가 실제로 이상유체(ideal fluid)에서 존재할 수 있음이 수학적으로 처음 입증됐다.

UNIST 최규동 교수(수학과), 서울대학교 정인지 교수, UNIST 심영진 학생 공동 연구팀은 사도브스키 패치가 유체의 기본 법칙인 오일러 방정식의 해로 존재함을 증명했다고 밝혔다. 이는 사도브스키가 제안한 지 50여 년 만에 이루어진 세계 최초의 존재성 증명으로, 유체역학·수학계의 장기 미해결 문제를 종지부 찍은 연구라는 평가를 받고 있다.

‘쌍 소용돌이’는 무엇인가?

사도브스키 패치는 비행기 날개 끝에서 발생하는 와류나 선박 뒤에 생기는 꼬리 소용돌이와 유사하지만, 실제 유체와 달리 이상유체를 가정했기 때문에 모양을 유지한 채 영원히 직진이 가능한 소용돌이 쌍을 말한다.

두 소용돌이는 서로 반대 방향으로 회전하면서도 접한 경계면이 끊기지 않고 유지되어야 하는 극도로 특수한 구조로, 이로 인해 수학적 증명은 오랫동안 불가능하다고 여겨져 왔다.

변분법으로 난제를 돌파... 물리적 안정성까지 입증

연구팀은 기존 접근방식으로는 얻기 어려웠던 해답을 변분법(variational method)으로 해결했다. 특정 조건을 만족하는 함수 중에서 에너지가 최대가 되는 소용돌이 쌍을 찾고, 이를 단계적으로 분석해 그 구조가 바로 사도브스키 패치임을 증명한 것이다.

특히 최동규 교수는 "이번 연구는 경쟁하던 북경대 황퉁(Huang-Tong) 교수팀과 달리, 수학적 존재성뿐 아니라 역학적(물리적) 안정성까지 입증한 최초의 성과라는 점에서 의미가 크다. 즉, 사도브스키 패치는 논리적 존재 가능성을 넘어, 실제 이상유체 모델에서도 안정적으로 유지될 수 있는 구조임이 확인된 셈이다."고 설명했다. 

항공·선박·기상·난류 연구의 핵심 이론 기반 마련

이번 성과는 소용돌이 간 상호작용을 해석하는 데 중요한 이론 기반을 제공한다.

연구팀은 "이번 성과가 난류 연구, 항공기와 선박의 후류 해석, 후지와라 효과와 같은 대기·해양 소용돌이 간의 상호작용 연구 분야에서 유체역학적 이해의 토대를 넓힌 의미를 갖는다"고 덧붙였다. 후지와라 효과는 두 개 이상의 태풍이 인접할 때 나타나는 간섭 현상으로, 일본 기상학자 후지와라 사쿠헤이가 1921년 제시했다. 특히 두 태풍이 서로 영향을 주며 회전하는 후지와라 효과에 대한 근본적 이해에 새로운 단서를 제공할 것으로 기대된다.

이번 연구 성과는 수학 분야 최상위 권위 학술지인 Annals of PDE(편미분방정식연보) 12월호에 게재되었다.

최규동 교수는 “반세기 동안 수학·유체역학 분야의 난제로 여겨졌던 문제를 해결했다는 점에서 큰 의미가 있다”며 “이 연구가 난류, 항공기 후류, 기상 소용돌이 등 다양한 분야의 이론적 기반을 한층 더 강화하는 계기가 될 것”이라고 말했다.

논문명은 On Existence of Sadovskii Vortex Patch: A Touching Pair of Symmetric Counter-Rotating Uniform Vortices이다.